En matemáticas, una función exponencial es una función de la forma${\displaystyle f(x)=ab^{x}}$ en el que el argumento x se presenta como un exponente. Una función de la forma ${\displaystyle f(x)=ab^{cx+d}}$ también es una función exponencial, ya que puede reescribirse como:

${\displaystyle ab^{cx+d}=\left(ab^{d}\right)\left(b^{c}\right)^{x}.}$

Como funciones de una variable real, las funciones exponenciales se caracterizan únicamente por el hecho de que la tasa de crecimiento de dicha función (es decir, su derivada) es directamente proporcional al valor de la función. La constante de proporcionalidad de esta relación es el logaritmo natural de la base b:${\displaystyle {\frac {d}{dx}}b^{x}=b^{x}\log _{e}b.}$ La constante e = 2.71828... es la base única para la cual la constante de proporcionalidad es 1, de modo que la derivada de la función es en sí misma:${\displaystyle {\frac {d}{dx}}e^{x}=e^{x}\log _{e}e=e^{x}.}$ Dado que el cambio de la base de la función exponencial simplemente da como resultado la aparición de un factor constante adicional, es computacionalmente conveniente reducir el estudio de las funciones exponenciales en el análisis matemático al estudio de esta función particular, llamada convencionalmente la "función exponencial natural",^[1]​^[2]​ o simplemente, "la función exponencial" y denotada por ${\displaystyle x\mapsto e^{x}}$ o bien${\displaystyle x\mapsto \exp(x).}$Si bien ambas notaciones son comunes, la primera se usa generalmente para los exponentes más simples, mientras que la última tiende a usarse cuando el exponente es una expresión complicada.

La función exponencial satisface la identidad multiplicativa fundamental ${\displaystyle e^{x+y}=e^{x}e^{y},}$ para todo ${\displaystyle x,y\in \mathbb {R} .}$Esta identidad se extiende a los exponentes de valores complejos. Se puede mostrar que cada solución continua, distinta de cero, de la ecuación funcional ${\displaystyle f(x+y)=f(x)f(y)}$ es una función exponencial, ${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} ,\ x\mapsto b^{x},}$ con La identidad multiplicativa fundamental, junto con la definición del número e como e¹, muestra que ${\displaystyle e^{n}=\underbrace {e\times \cdots \times e} _{n{\text{ términos}}}}$ para enteros positivos n y relaciona la función exponencial con la noción elemental de exponenciación.

El argumento de la función exponencial puede ser cualquier número real o complejo o incluso un tipo de objeto matemático completamente diferente (por ejemplo, una matriz).

Su omnipresente aparición en matemáticas puras y aplicadas ha llevado al matemático W. Rudin a opinar que la función exponencial es "la función más importante en matemáticas".^[3]​ En los ajustes aplicados, las funciones exponenciales modelan una relación en la que un cambio constante en la variable independiente proporciona el mismo cambio proporcional (es decir, aumento o disminución de porcentaje) en la variable dependiente. Esto ocurre ampliamente en las ciencias naturales y sociales; por lo tanto, la función exponencial también aparece en una variedad de contextos dentro de la física, la química, la ingeniería, la biología matemática y la economía.

La gráfica de ${\displaystyle y=e^{x}}$está inclinada hacia arriba, y aumenta más rápido a medida que x aumenta. El gráfico siempre se encuentra por encima del eje x, pero puede estar arbitrariamente cerca de él para x negativo; Así, el eje x es una asíntota horizontal. La pendiente de la tangente a la gráfica en cada punto es igual a su coordenada y en ese punto, como lo indica su función derivada. Su función inversa es el logaritmo natural, denotado ${\displaystyle \log ,}$^[4]​ ${\displaystyle \ln ,}$^[5]​ o ${\displaystyle \log _{e};}$debido a esto, algunos textos antiguos^[6]​ se refiere a la función exponencial como el antilogaritmo.